Teorema del coseno
Il terzo lato di un triangolo da due lati e l'angolo fra loro, e l'angolo dai tre lati. È il teorema di Pitagora esteso ai triangoli qualunque.
Formula in chiaro Verificato il 30 agosto 2026 Segnala un errore
Teorema del coseno
| Primo lato | 5 m |
|---|---|
| Secondo lato | 7 m |
| Angolo fra i due lati | 60 ° |
| Terzo lato | 6,245 m |
Esempio calcolato dal nostro motore il 30 agosto 2026.
Come calcoliamo questa pagina
lato_c^2 = lato_a^2 + lato_b^2 - 2 * lato_a * lato_b * cos(angolo_c)
c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Quando l'angolo C è retto il coseno vale zero e resta il teorema di Pitagora.
Calcolo aritmetico: non dipende da tabelle o normative esterne.
- I tre lati devono poter formare un triangolo: se non lo fanno, il coseno esce fuori dall'intervallo fra −1 e 1 e il campo resta vuoto.
Esempi svolti
Due lati e l'angolo compreso
Primo lato 5 m Secondo lato 7 m Angolo fra i due lati 60 ° Terzo lato 6,245 m
Il terzo lato misura 6,24. Con un angolo di 90 gradi il termine correttivo si annulla e la formula tornerebbe a essere Pitagora.
Quando l'angolo è ottuso
Primo lato 5 m Secondo lato 7 m Angolo fra i due lati 120 ° Terzo lato 10,4403 m
10,44: il coseno di 120 gradi è negativo, quindi il termine correttivo si somma invece di sottrarsi e il lato viene più lungo di quello di Pitagora.
I numeri di questi esempi non sono scritti a mano: li calcola lo stesso motore della pagina, ogni volta che il sito viene pubblicato.
Pitagora generalizzato
Il teorema del coseno dice che il quadrato di un lato è la somma dei quadrati degli altri due, meno il doppio del loro prodotto per il coseno dell'angolo compreso. Con l'angolo retto il coseno vale zero, il termine sparisce e resta esattamente il teorema di Pitagora.
È quindi la versione valida per qualunque triangolo, e Pitagora ne è il caso particolare.
Il segno del termine correttivo
Se l'angolo è acuto il coseno è positivo e il lato opposto viene più corto dell'ipotenusa pitagorica; se è ottuso il coseno è negativo e il lato viene più lungo. Il termine correttivo racconta quindi in che modo il triangolo si discosta dall'angolo retto.
È anche il modo per riconoscere il tipo di triangolo dai soli lati: confrontando il quadrato del lato maggiore con la somma degli altri due si scopre se è acutangolo, rettangolo o ottusangolo.
Quando usarlo
Serve nei due casi che il teorema dei seni non risolve: due lati e l'angolo compreso, oppure tutti e tre i lati e si vuole un angolo. Insieme, i due teoremi risolvono qualunque triangolo.
Domande frequenti
È il teorema di Pitagora generalizzato?
Esattamente: c² = a² + b² − 2ab·cos(γ). Quando l'angolo γ è di 90 gradi il coseno vale zero, il terzo termine sparisce e resta a² + b² = c².
Serve per trovare un angolo dai tre lati?
Sì, ed è uno degli usi principali: la formula si rovescia in cos(γ) = (a² + b² − c²) / 2ab. La pagina lo fa nei due sensi.